¿QUÉ MUEVE AL NET PROMOTER SCORE (NPS)?
La satisfacción y el deleite del cliente como motores de la recomendación
Ameeta Deshmuk, Anand Karandikar, Fernando Krasovitzky
Number You Need To Grow”, publicado en la revista Harvard Business Review (2), captó la atención inmediata y desató el furor de la comunidad mundial.
Dr. Ameeta Deshmukh Investigadora Científica Senior de Metric Consultancy,Pune, India Dr. Anand Karandikar Investigador Científico Senior de Metric Consultancy, Pune, India Fernando Krasovitzky Presidente de Leventer Group

meramente “interesante” pero poco o nada accionable. En otras palabras, ¿si no comprendemos los factores que in?uyen en este índice, cómo podemos trabajar para mejorarlo? A pesar de los numerosos artículos que se han escrito acerca del NPS, noexiste nada en el acervo de dominio público que ofrezca una luz a estas preguntas y nos oriente para llevarlo de la teoría a la acción. Los pocos textos que pueden encontrarse al respecto resultan super?ciales y sumamente obvios, tal y como el que se presenta a continuación: “Una compañía que busque crecer debe aumentar el porcentaje de promotores y disminuir el porcentaje de detractores. Estos son dosprocesos distintos que deben administrarse por separado y afortunadamente el NPS analiza a ambos.”

Hace ya varios años que la recomendación de los clientes es reconocida como un factor de enorme in?uencia en el comportamiento de compra, el brand equity y la imagen corporativa. En la era del Internet y de los “Blogs”, la publicidad positiva boca a boca se ha convertido en un aspecto aún másimportante y crítico debido a la potencia que alcanza y a la velocidad con la que se disemina a todos los rincones del planeta. Recientemente, un estudio realizado por Future Foundation (1), demostró que los comentarios de amigos y familiares in?uyen mucho más que la comunicación de la compañía en las decisiones de compra de la gente.
100 80 60 40 20 0 2001 2005

En dicho artículo, Reichheldintroduce el Net Promoter Score (NPS)*, un índice que mide la disposición de los clientes a recomendar a una compañía y los clasi?ca en tres grupos: promotores, pasivos y detractores.
Promotores Pasivos Detractores

Clientes cuyas Clientes cuyas experiencias con la experiencias con la compañía han sido compañía han sido positivas y se meramente encuentran muy satisfactorias y se dispuestos amuestran indiferentes recomendarla a recomendarla

Clientes cuyas experiencias con la compañía han sido negativas y no se encuentran dispuestos a recomendarla

Si bien el NPS es una herramienta innovadora que brinda información relevante sobre la calidad de las experiencias y la relación con los clientes, lo que desató el verdadero entusiasmo de los ejecutivos fue la correlación que Reichheld logróestablecer entre este indicador y el crecimiento de las organizaciones. En un estudio con más de 150,000 clientes provenientes de diversas industrias, este investigador demostró que el NPS puede pronosticar con bastante precisión incrementos en ventas, rentabilidad y valor generado por las compañías. A partir de ese momento, el NPS cobró aún más relevancia y aceptación universal, siendo adoptadopor un sinnúmero de corporaciones de la talla de General Electric y American Express, y generando una gran masa de adeptos, algunos de ellos casi religiosos, quienes incluso han decidido ligar los bonos e incentivos de sus ejecutivos a los resultados de este índice.

La búsqueda de una respuesta
Como investigadores de mercado con orientación a la excelencia en los negocios, decidimos realizar unestudio empírico para intentar identi?car las variables que in?uyen en el NPS y facilitar así la integración de este indicador a los planes de marketing y programas de mejora de las organizaciones. Nuestra investigación partió de una hipótesis simple pero no por ello poco relevante: “El NPS de una compañía es el resultado del nivel de satisfacción de sus clientes. Cuando la satisfacción aumenta,…

Lección 1. El procedimiento tributario.
1. Concepto de procedimiento administrativo.
En las siguientes lecciones vamos a estudiar el procedimiento tributario, el llamado Derecho Tributario Formal, esto es, el conjunto de normas que regulan la forma de hacer efectivo el Derecho Tributario Material, o lo que es lo mismo, los derechos y obligaciones de los contribuyentes.
Dicho de otro modo,vamos a estudiar el camino que debe seguirse para hacer que una manifestación jurídica como es la norma produzca efectos en un plano que podemos considerar inferior, el del acto singular no normativo (con carácter general, un acto administrativo).
Podemos afirmar, de inicio, que el procedimiento tributario es un procedimiento administrativo. Así se reconoce en el art. 83 LGT cuando se señala ensu apartado 3 que «la aplicación de los tributos se desarrollará a través de los procedimientos administrativos de gestión, inspección, recaudación y demás previstos en este título».
Por procedimiento administrativo entendemos un conjunto de actos emanados de un poder público, y, en su caso, de uno varios particulares que intervienen en el mismo, que tienen por finalidad producir, con plenosometimiento a la ley y al derecho, un acto o una norma administrativos, o ejecutar, de la misma manera, un acto ya producido (González Pérez/González Navarro).
Es importante tener presente que el procedimiento administrativo es una garantía para el ciudadano, (en nuestro caso el contribuyente): si la actividad administrativa no sigue esos cauces determinados por las normas como requisitos mínimosdicha actividad no puede considerarse legítima. Una segunda garantía es la existencia de un sistema de recursos, que permite que los contribuyentes puedan oponerse a los actos que considera lesivos a sus intereses, para intentar obtener su anulación, modificación o reforma si no son ajustados a Derecho.
Nosotros vamos a estudiar la producción de actos administrativos y su ejecución, sin hacerreferencia alguna a la producción de normas administrativas. También debemos tener presente que en el ámbito tributario no siempre hablaremos de procedimientos que terminan en forma de acto administrativo, aunque esta forma sea la más común.
Debemos recordar, también, que los distintos elementos que forman esta cadena de actos que forman un procedimiento administrativo van a tener distinto valordentro de tal procedimiento, pero poseen sustantividad jurídica propia (pueden ser individualizados), aunque tengan un carácter instrumental (por sí mismos no producen efectos jurídicos) para obtener una resolución final.
Por eso, de las distintas clasificaciones de los actos administrativos, nos interesa distinguir entre actos administrativos:
-de trámite: son un presupuesto de la decisión queadopta la Administración, son actos intermedios que son absorbidos por el acto resolutorio o final del procedimiento.
En general, no son impugnables, no pueden recurrirse, salvo que determinen la imposibilidad de continuar el procedimiento o decidan directa o indirectamente el fondo del asunto (actos de trámite cualificados)
-resolutorios: son actos que deciden el procedimiento, que constituyenla manifestación final de la acción administrativa. Son recurribles en vía administrativa y en vía contencioso administrativa.
2. Normativa aplicable. El carácter subsidiario de la Ley 30/1992, de 26 de noviembre, de Procedimiento Administrativo Común.
Conforme al art. 97 de la LGT, las actuaciones y procedimientos de aplicación de los tributos se regularán:
a) por las normas especialesestablecidas en este título y la normativa reglamentaria dictada en su desarrollo, así como por las normas procedimentales recogidas en otras leyes tributarias y en su normativa reglamentaria de desarrollo.
b) Supletoriamente, por las disposiciones generales sobre los procedimientos administrativos.
La más destacada de estas disposiciones generales sobre los procedimientos administrativos es la Ley…

FAMILIA: OXIDOS METALICOS
COMPUESTO: Oxido nitroso
USO: Se han empleado para el neumoperitoneo diferentes tipos de gases, desde aire, nitrógeno, argón, helio, CO2 y óxido nitroso. Cada uno de ellos reviste características distintas, pero en términos generales sólo los gases solubles (CO2 y N2O) tiene aplicaciones en la práctica de la laparoscopía. El óxido nitroso es útil en las siguientescircunstancias: procedimientos diagnósticos, donde no haya necesidad de fulgurar (aunque no es combustible, sí es comburente y por ello es posible la inflamabilidad sobre todo si coexiste con otros gases como el hidrógeno y el metano que se producen en el tracto intestinal), además no hay que olvidar que, en caso de embolismo aéreo y N2O, el tamaño del émbolo es mayor que con el CO2. Una ventajareportada parece ser que el pneumoperitoneo resulta menos doloroso y es factible su realización bajo anestesia local y sedacion
COMPUESTO: Oxido Nítrico
USO: Entre las funciones más importantes que cumple el óxido nítrico en el organismo, cabe mencionar el efecto modulador del tono vascular, neurotrasmisor central y periférico, inmunológico y la agregación plaquetaria.
– Acción moduladora del tonovascular
– Neurotrasmisión central y periférica
– La neurona presináptica libera óxido nítrico, en base a la liberación de mecanismos químicos que activan la óxido nítrico sintetasa, y luego posteriormente difunde a la neurona postsináptica, donde se une al guanilato ciclasa, activando la enzima, para finalmente producir guanocina monofosfato cíclico (GMPc). En algunos grupos de neuronas, como es elcaso del plexo mientérico, se ha encontrado NOS, donde la liberación del óxido nítrico produce dilatación intestinal,como respuesta al bolo alimenticio.
– Mecanismo inmunológico
En algunas situaciones, la óxido nítrico sintetasa inductible (NOSi) de los macrófagos, produce grandes cantidades de óxido nítrico, que inhibe la producción de adenosin hongos y parásitos.
La excesiva producción de óxidonítrico por parte de los macrófagos en el caso de shock séptico,puede producir una marcada vasodilatación periférica con la consiguiente hipotensión.
Efectos sobre la agregación plaquetaria.- El óxido nítrico producido a nivel del endotelio vascular, difunde hacia la pared de los vasos, pero también hacia la luz, ingresando al interior de las plaquetas, este NO inhibe la agregación plaquetaria,disminuyendo la coagulación.
FAMILIA: HIDROXIDOS O BASES
COMPUESTO: Hidroxido de Sodio
USO: El quitafantasmas DDI contiene 7% de Hidróxido de sodio. Por esto es muy corrosivo. El producto sirve par quitar los residuos de tintas y de emulsiones de la pantalla. Despues de haber quitado la emulsión, hay que secar la pantalla para lograr un mejor rendimiento del producto. Luego, aplicar el quitafantasmasDDI sobre ambos lados de la pantalla con un cepillo. El tiempo de espera puede variar de 5 minutos a unas horas según la agresividad de la tinta. Reactivar con el Limpiador DDI. Enjuagar con agua bajo presión. Evitar un calor excesivo durante el el secado, lo que puede dañar la malla.
El quitafantasmas DDI es un producto muy activo. Su composición asegura una penetración rapida en los rastros detinta seca. Despues del enjuague con agua, la pantalla queda completamente seca.
Estado físico: líquido
PH: producto alcalino y corrosivo
COMPUESTO: Hidroxido de Calcio
USO: El hidróxido de calcio entre otros han sido usados por mucho tiempo en la odontología debido a sus propiedades antibacterianas y a su favorable biocompatibilidad cuando se compara con otros agentes antibacteriales.
Pese a susaplicaciones en la capa pulpar o procedimientos de pulpotomía, el hidróxido de calcio no es generalmente preferido en recubrimiento pulpar de dientes primarios, debido al limitado éxito clínico.
El análisis crítico de la literatura sugiere,sin embrago, que los resultados de la pulpotomía con hidróxido de calcio pueden ser afectados significativamente como variable en la técnica, el uso en calidad…

DOCTRINA AEREA VS CONTRAINSURGENCIA

Al transcurrir el tiempo el hombre ha cursado por diferentes guerras, esto ha permitido que se planteen nuevas formas de lucha y nuevas tácticas para lasmismas. De ahí la necesidad de generar nuevas doctrinas que se enmarquen y se fundamenten en la historia, representada en antiguas y presentes experiencias de lucha que nos ayudan a la preparación yejecución de luchas posteriores.

Como sabemos en el presente las grandes guerras han pasado a un segundo plano, dando paso así a luchas contra insurgentes, y cambiando completamente el precepto de laguerra, conllevando de esta forma a la necesidad de generar nuevas tácticas, técnicas y procedimientos para combatir a la insurgencia y el terrorismo.

Si bien sabemos que la doctrina aérea da formaa la manera en que la Fuerza Aérea organiza, adiestra, equipa y sustenta a su fuerza, y que la Fuerza Aérea es imprescindible y sumamente importante en las guerras y luchas internas de un país; Yque además esta genera un apoyo incomparable a las Fuerzas en tierra u otros gobiernos o agencias. Seria preciso pensar en que la doctrina aérea debe prestar especial atención al tema de la lucha contrala insurgencia y de esta forma crear una doctrina de contrainsurgencia que abarque todas aquellas acciones militares, paramilitares, políticas, económicas, sicológicas y cívicas adoptadas paracombatir este tipo de conflictos.

Así podríamos pensar y afirmar que es necesario actualizar los programas de educación y adiestramientos para el personal con el fin de incluir a la insurgencia como untipo diferente de guerra, puesto que de esta manera la doctrina permitirá determinar la mejor organización del poderío aéreo y métodos para su empleo en el combate.

También podemos concluir que eluso de una doctrina de contrainsurgencia es de gran vitalidad para contrarrestarla y por eso debe de ser tomada en cuenta para el desarrollo de las operaciones aéreas, pues como decía anteriormente…

Es un defecto o una lesión del cerebro inmaduro (0 – 5 años). No es una enfermedad, sino, que es considerada como un conjunto de síntomas; no es progresiva, no es genética, no ocasiona la muerte (noes causa primaria de muerte).
Enfermedad pisco-neuromuscular, causada por una lesión motora cerebral y ocurrida antes, durante o inmediatamente después del parto. Incluye aislada o conjuntamenteespasticidad, debilidad, incoordinación, atetosis o temblor, con frecuencia asociado con retraso mental, trastornos sensoriales, crisis convulsivas y trastornos visuales, auditivos y del lenguaje.Gracias a la sociedad académica de investigadores que están a cargo de hacer un avance más detallado de las causas de esta patología, podemos definir como etiología, algunas causas de dichaenfermedad.
Por ejemplo en factores de riesgo prenatales encontramos un alto porcentaje de incidencia de un 30% en las patologías más destacadas en esta etapa observamos: la rubeola, la raza y estudios másavanzados destacan que reincide más en niños que en niñas.
En causas perinatales es un porcentaje mucho más alto con un 60 % los factores determinantes encontramos la prematuridad, niños con pesoinferior a 1500 gr, partos prolongados, sufrimiento fetal y anoxia siendo estas patologías la mayor causa para los niños IMOC
En factores posnatales observamos que tiene un porcentaje menor siendoeste de un 10 % en esta parte encontramos que los bebes que sufren dé traumatismos, meningitis, ACV o tuberculosis pueden sufrir de esta alteración.

Desde nuestro punto de vista profesional se noshace muy importante recocer este trastorno para poder realizar un debido tratamiento y rehabilitación del paciente y para nosotros que estamos empezando adentrarnos en el tema es muy importante todoslos aportes que los profesores nos dan y así poder ser unos excelentes profesionales y brindarles el mejor apoyo a estos pacientes que sufren de esta patología

BIBLIOGRAFIA

Neurología para…

Ley de Conservación de la Materia
Abraham Tamir, Department of Chemical Engineering, Ben-Gurion University of the Negev, Beer-Sheva, Israel.
Francisco Ruiz Beviá, Departamento de IngenieríaQuímica, Facultad de Ciencias, Universidad de Alicante.
La teoría más antigua sobre la creación de la materia se describe en Génesis 1:1: “En el principio Dios creó los
cielos y la tierra”, es decir, lamateria fue la primera cosa creada. La teoría moderna de la formación de la materia
se identifica con la Teoría del Big Bang, la cual es un modelo ampliamente aceptado sobre el origen y evolución
denuestro universo. El modelo postula que el universo observable empezó desde un punto que se expansionó
instantáneamente, hace aproximadamente de 13 a 14 billones de años, lo que se considera como elcomienzo del
tiempo. Desde el Big Bang, el universo está continuamente en expansión. Se acepta que la materia fue creada
después de tres segundos, que las galaxias se formaron sobre cinco mil millonesde años más tarde y que el
hombre fue creado al cabo de quince mil millones de años. La creación de la materia se muestra en la Fig. 1
mediante cinco cuadros de los cuales solamente el primero y elquinto, titulados “The Grips”, fueron pintados por
De Es Schwertberger (1942) nacido en Austria y considerado un artista del misterio. El primer cuadro da una
impresión del Big Bang y el quinto dela materia. Aplicando el software Photoshop, fue posible generar la
simulación artística en cinco etapas de la creación de la materia.
¿Qué es la masa? Es una medida física de la cantidad de materiao sustancia que hay en un cuerpo. Fue Newton
(1643-1727) quien sobre 1687 dio una definición operativa de la masa de acuerdo con m = ?V. Sin embargo, el
filósofo y físico austriaco Ernst Mach(1838-1916) y otros científicos prefirieron definir la masa a partir de la
segunda ley de Newton m = F/a donde la fuerza es bien de atracción o de empuje y su fuente puede ser la
gravitación, la…

SIGNIFICADO DE LOS GESTOS EN EL MUNDO
ADMINISTRATIVO Y PROFESIONAL

Los seres humanos comunicamos nuestros pensamientos y sentimientos a través de las palabras, pero, en ocasiones, sin darnoscuenta, nuestros gestos, tono de voz, etc. entran en contradicción con lo que decimos.
De allí el gran poder que tiene la comunicación no verbal ennuestro diario vivir y muy especialmente en elmundo laboral y de los negocios.
Sin embargo, nos preguntamos ¿Qué es exactamente el lenguaje corporal? ¿ Qué movimientos debemos evitar en el ámbito de negocios y cuáles nos convienen realizar?
Lacomunicación no verbal se define como un sistemaorganizado con base de gestos o signos corporales, aprendidos o espontáneos, noorales.
Según estudios realizados, se han registrado casi 1.000.000 señales y gestos en la comunicación no verbales Inclusive se ha comprobado que entre un 60% y un 80% de la comunicación entre seres humanos se realiza por canales no verbales y que las personas se fía másen estos tipos de mensajes que el oral.
Características del lenguaje corporal
Una parte importante de la comunicación no verbal es el lenguaje corporal por medio del cual nos comunicamos con otrosmediante el cuerpo (el contacto ocular, el movimiento de los ojos, las sonrisas y los ceños, el contacto físico y el fruncir la ceja, etc.)
Otros tipos de lenguaje corporal son la cercanía, elmovimiento de caderas y la frecuencia de la respiración.
A continuación un listado de movimientos, gestos y señales y sus significados:
|Las palmas de las manos |Palmas hacia arriba: Gesto no amenazadorque denota sumisión. En una conversación puede significar |
| |también honestidad, franqueza y deferencia. |
||Palmas hacia abajo: la persona adquiere autoridad, mando. |
| |Palmas cerradas apuntando con el dedo…

NODULOS LINFATICOS

Localización: axila, ingle, región femoral y cuello. (Palpables), tráquea, bronquios en el tórax, aorta y sus ramas en el abdomen (no palpables).

Forma: frijol o de riñón en miniatura

Tamaño: 0.1-2 cm de longitud

Características histológicas: describir cada una de las partes en que se divide.

Los nódulos linfáticos son pequeñas estructuras encapsuladas, queinterrumpen el curso de los vasos linfáticos y contienen elementos del sistema defensivo del organismo, como linfocitos y macrófagos. Actúan como filtros especializados que atrapan y fagocitan partículas de la linfa que pasa a través de ellos, detectan y combaten antígenos extraños que lleva la linfa.

Nódulos linfáticos axilares: Los ganglios o nódulos linfáticos axilares están localizados en elbrazo, en la axila. Se dividen en dos grupos: superficiales y profundos. Estos nódulos linfáticos reciben la linfa de los vasos linfáticos del brazo y los nódulos superiores la reciben de los vasos linfáticos situados en el área superior del pecho, cerca de los músculos pectorales y de las glándulas mamarias. Hay alrededor de 35 nódulos linfáticos en la zona del pecho y de la axila, la mayoría deellos situados en la axila o cerca de ella. Si se desarrolla un cáncer en la mama, con frecuencia se extiende a los nódulos porque la linfa, además de otros residuos, puede transportar células cancerosas. La linfa fluye en todas direcciones, pero alrededor de tres cuartas partes de los vasos linfáticos del pecho desembocan en los ganglios o nódulos axilares que, con frecuencia, es por donde primerose extiende un cáncer de mama.

Nódulos linfáticos cervicales: Los ganglios o nódulos linfáticos cervicales están localizados en el cuello. Se dividen en dos grupos: superficiales y profundos. Hay tres grupos de ganglios linfáticos superficiales: los submaxilares, cerca de la mandíbula, los suprahioideos, cerca del hueso hioides de la garganta y los cervicales, situados a lo largo de la venayugular externa. Los nódulos cervicales profundos son grandes y están situados cerca de la faringe, del esófago y de la tráquea. Cuando se tiene dolor de garganta, los glóbulos blancos se agrupan en los nódulos situados allí para combatir la infección, por ello se sensibiliza e inflama la garganta.

Nódulos linfáticos inguinales: La red de vasos linfáticos situados en la parte inferior del cuerpopasa la linfa a los nódulos linfáticos inguinales con forma de judía que se encuentran en el interior de la ingle, cerca de la arteria y vena femorales.

FUNCIONES:

Fagocitar células previviendo que lleguen a la circulación sanguínea.

Permiten que los linfocitos, las células presentadoras de antígenos y los antígenos interactúen, amplificando la respuesta inmune al formar clones delinfocitos.

BAZO

Localización: se encuentra situado en el cuadrante superior izquierdo del abdomen, detrás del estómago y próximo al diafragma.

FORMA: ovoide

TAMAÑO: mide 13x8cm

PESO: pesa 180 y 250 g en el adulto

Características histológicas: describir capsula, corteza y medula, explicar que es la pulpa roja y pulpa blanca y funciones de cada una

CAPSULA: El bazo está constituido poruna cápsula de 1 a 2 mm de espesor que rodea la pulpa, de su superficie externa se prolonga dentro de ella en un entramado de tejido conjuntivo trabecular que subdivide al órgano en pequeños compartimentos y le da la armazón.

PULPA ROJA: es un tejido está formado por sinusoides y cordones celulares, que contienen macrófagos residentes, eritrocitos, plaquetas, granulocitos, linfocitos ynumerosas células plasmáticas. Además de las funciones inmunitarias que desempeña, el bazo constituye también un reservorio de plaquetas, eritrocitos y granulocitos. El bazo es el lugar en que son destruidos las plaquetas y los eritrocitos envejecidos, en un proceso que se lleva a cabo en la pulpa roja y se denomina «hemocatéresis»

Todo esto es posible gracias a la organización vascular del bazo….

Mercadotecnia
Cerciorese de que la base de su programa de mercadotecnia sea el otorgarles experiencias y sensaciones gastronómicas inolvidables a sus clientes, lacuales deseen repetir y den pauta a la recomendación del lugar a otras personas.
Procure preguntar a cada nuevo cliente cómo se han enterado de su negocio y tome muy encuenta esa información, ya que así sabrá que tan bien están trabajando sus distintos esfuerzos de mercadotecnia y entonces decidir incrementar ciertos programas y eliminar losque no estén funcionando.
La sociedad esta cambiando constantemente, y parte de ella son sus clientes, por lo tanto, las estrategias de mercadotecnia también debencambiar.
Con regularidad , revise cada elemento de su instalación, desde el estacionamiento, la decoración interior del lugar , los artículos impresos de su restaurante;para asegurarse que esten reflejando el mensaje que usted quiere dar de su negocio.
No deje de promocionar su restaurante, aun cuando este teniendo éxito; la promocióncontante lo hará mas fuerte.
Una manera fácil de promover su empresa de servicio gastronómico es dando vales o cupones através de las emisoras de radio y televisión local;con ello además de conseguir que el nombre de la compañía y ubicación sean anunciados varias veces, tiene la posibilidad de ganarse otros clientes. Asegúrese que cadacupón o vale claramente identifique el nombre de su empresa, su ubicación, los horas que usted está abierto y cualquier restricción sobre el premio.
Otros métodospromocionales pueden ser:
• Participación en eventos locales.
• Patrocinio de equipos deportivos.
• Cupones de descuento
• Obsequio de cartas a sus clientes más frecuentes

Cap´ ?tulo 16 Teorema de pit´goras a
Hemos visto que la raz´n de segmentos es igual a la de sus medidas tomao das con una misma unidad. Toda proporci´n entre segmentos puede interpreo tarse como proporci´n entre sus medidas. Habiendo elegido (arbitrariamente) o una unidad, a todo segmento le corresponde el n´mero real de su medida con u respecto a dicha unidad. En lo que sigue, supondremos quehemos ?jado una unidad y entenderemos la expresi´n AB·CD como el producto de las medidas o con respecto a la unidad elegida de los segmentos AB y CD.

16.1.

Rectas antiparalelas
B B’ a
Figura 1 Sean a y b dos rectas secantes en O. Sean r y s rectas secantes en los puntos A, B y A , B a las rectas a y b respectivamente, de modo que los pares AA y BB est´n a un e mismo lado o a distinto ladode O, y que el ´ngulo OAB sea igual a a A B O. Diremos que las rectas r y s son antiparalelas respecto de a y b. Tambi´n son iguales los ´ngulos e a

s b

r

O A’

A

137

138

´ CAP´ ITULO 16. TEOREMA DE PITAGORAS

?ABO y ?B A O por ser suplementarios de la suma de los anteriores con s b AOB. La recta r forma as´ con cada ? O a una de las rectas a y b, ´ngulos iguales a A A’ a losque su antiparalela s forma con estas. Se sigue que el antiparalelismo B’ es una relaci´n rec´ o ?proca, esto es: Las rectas a y b son tambi´n antiparalelas e Figura 2 respecto de r y s. Los tri´ngulos AOB y B OA son semejantes porque tienen, respectivaa mente iguales los ´ngulos hom´logos en este orden. Por tanto a o

B

r

OB OA = , OB OA OA · OA = OB · OB .

(16.1) (16.2)

Dos rectasconcurrentes en O son cortadas por dos antiparalelas respecto de ellas en puntos cuyo producto de distancias a O es el mismo en ambas rectas Reciprocamente, si se veri?ca (16.2), o equivalentemente se veri?ca (16.1) y los ´ngulos OAB y OB A son iguales, los tri´ngulos OAB y OBA son a a semejantes y las rectas AB y A B son antiparalelas de las rectas OA y OB. De (16.1) tambi´n se desperende que eOB OA = , OB OA (16.3)

B r b O s a A ‘ A

de modo que las rectas AB y A B tambi´n son antiparalelas de OA y e OB. Si B coincide con B tendremos OA · OA = (OB)2 . Diremos que el segmento OB es medio proporcional entre los segmentos OA y OA .

Figura 3

16.1. RECTAS ANTIPARALELAS

139

16.1.1.

Tri´ngulo rect´ngulo a a

Consideremos el tri´ngulo rect´ngulo ABC, con ´ngulo recto enC. Sea a a a CH la altura del v´rtice C. Tenemos que el cateto CB y la altura CH son e antiparalelas de la hipotenusa AB y el otro cateto AC. Similarmente, la altura CH y el cateto AC son antiparalelas del otro cateto y la hipotenusa.

C
Se sigue que (AC)2 = AH · AB (16.4) (BC)2 = BH · BA (16.5)

B Cada cateto de un tri´ngulo rect´ngua a lo es medio proporcional entre la hiFigura 4 potenusa ysu proyecci´n sobre ella. o De la semejanza de los tri´ngulos ACH y CBH se desprende que a
HC HA = HC HB de donde HA · HB = (HC)2 (16.6)

A

H

La altura sobre la hipotenusa de un tri´ngulo rect´ngulo es media proporcional a a entre los segmentos en que aquella divide a esta. El rec´ ?proco tambi´n es cierto: Si la altura de un tri´ngulo veri?ca la e a ecuaci´n (16.6) entonces el tri´nguloes rect´ngulo. o a a En efecto, (16.6) prueba que el los tri´ngulos ACH y CBH son semejantes a y ?ACH = ?CBH = 90? ? ?HCB de donde ?ACB = ?ACH + ?HCB = 90? .

16.1.2.

Construcciones de medias proporcionales

Los teoremas anteriores permiten la construcci´n del segmento x medio o proporcional a dos segmentos a y b dados. En la ?gura de la izquierda se ha

140

´ CAP´ ITULO 16. TEOREMADE PITAGORAS construido el segmento AB = a+b, la semicircunferencia ACB de di´metro a AB y el punto H tal que AH = a. La altura del tri´ngulo es el segmena to buscado. En la ?gura de la derecha, sea ha construido el segmento AB = b, la semicircunferencia con dicho di´metro y el punto H de forma a tal que AH = a. El cateto AC cuya proyecci´n es AH es el segmento o buscado.

a C x A a H b B b C…