Distribuciones de probabilidad
bidimensionales o conjuntas
Si disponemos de dos variables aleatorias podemos
definir distribuciones bidimensionales de forma
semejante al caso unidimensional. Para el caso
discreto tendremos:
p(x, y) ? P(X ? x, Y ? y).
Con:
?? p( x, y) ?1,
x
y
p ( x, y ) ?0.
1
Podemos encontrar la probabilidad marginal de
la variable aleatoria X sumando sobre todos losposibles valores de la variable aleatoria Y:
p X (x) ?? p ( x, y )
y
Igualmente, podemos encontrar probabilidad
marginal de la variable aleatoria Y sumando
sobre todos los posibles valores de la variable
aleatoria Y:
pY (y) ?? p ( x, y )
x
2
Función de probabilidad condicional
La función de probabilidad condicional de X dado Y = y es:
p(x,y)
p(x|y) ?
pY (y)
Y la función de probabilidadcondicional de Y dado X = x es:
p(x,y)
p(y|x) ?
p X (x)
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Nota: El punto 2 lo veremos más adelante.
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La definición para dos variables aleatorias continuas es
semejante:
F(x,y) = P(X ? x, Y? y).
La densidad de probabilidad f(x,y) se obtiene derivando la
función de probabilidad con respecto a sus argumentos:
2
2
? F ( x, y ) ? F ( x, y )
?
? f ( x, y )
?x?y
?y?x
Por supuesto:
f ( x, y ) ?0,
??
??f ( x, y)dxdy ?1
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? ?? ?
Las densidades de probabilidad marginales y las
probabilidades condicionales se definen de forma
semejante al caso bidimensional discreto sin más que
sustituir sumatorios por integrales. Así:
?
f Y ( y ) ? ?f ( x, y )dx
??
?
f X ( x) ? ?f ( x, y )dy
??
f(x,y)
f(x|y) ?
fY (y)
f(x,y)
f(y|x) ?
f X (x)
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Independencia
Ausencia de relación de cualquier tipoentre dos v.a.
Recuerda que dos sucesos, A y B, son independientes si tener información sobre uno
de ellos no influye en el cálculo de prob. del otro, es decir:
P ( A | B ) ? P ( A)
O equivalentemente, A y B son independientes si y solo si:
P(A ? B) ?P(B)P(A )
De manera similar se puede definir el concepto de independencia entre v.a.
Sean X e Y dos v.a. (continuas o discretas). X e Y sonindependientes si y solo si la
distribución de una ellas condicionada por la otra es igual a la marginal de la primera,
??
f X |Y ( x ) ? f X ( x ) ó f Y | X ( y ) ? f Y ( y )
Como en el caso de sucesos, esta definición implica que X e Y son indep. si su
distribución conjunta se puede calcular como el producto de las marginales, es decir:
f XY (x, y) ? f X (x) f Y (y)
Distribuciones bidimensionalese independencia
Los sucesos aleatorios {X = x} e {Y = y} son independientes
si:
P(x, y) ? PX (x) ?PY (y)
Y entonces, dos variables aleatorias serán independientes
si la relación anterior se cumple para todos los posibles
pares (x,y).
Podremos entonces escribir:
p(x|y) ? p X (x) y p(y|x) ? pY (y)
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El teorema de Bayes se expresa como:
p X (x) p(y|x)
p(x|y) ?
pY ( y )
pY (y) p(x|y)
p(y|x) ?
pX (x)
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paralelo
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Relaciones entre variables
• Cuando construimos modelos, básicamente estamos
relacionando variables con argumentos del tipo: Un
aumento en la variable X está asociado a un
aumento (descenso) de la variable Y.
• Algunos ejemplos
– Existe una relación positiva entre el flujo de inmigrantes a
un país y la renta per capitadel país de acogida.
– Existe una relación positiva entre la nota obtenida en
probabilidad y la de estadística.
– Existe una relación negativa entre la tasa de fecundidad y la
tasa de participación femenina.
– No parece que exista ninguna relación entre el volumen de
lluvias en Islandia y la nota del parcial de probabilidad.
Las relaciones entre v.a.
pueden ser de muy distinto
tipo: positivas onegativas (si
cuando crece la una la otra
también lo hace y viceversa),
lineales o no lineales, etc.
También puede ocurrir que no
exista ninguna relación entre
dos v.a.: cuando esto ocurre
diremos que dos v.a. son
independientes.
Vamos a describir a
continuación cómo de ‘lineal’
es la relación que existe entre
dos variables: para ello
definimos la covarianza y la
correlación
Y
Relación lineal…