Métodos de Integración Indice
Introducción Cambio de Variable Integración por partes Integrales de funciones trigonométricas Sustitución Trigonométrica Fracciones parciales
Introducción.
En esta sección, ya con la ayuda del Teorema Fundamental del Cálculo, desarrollaremos las principales técnicas de Integración que nos permitirán encontrar las integrales indefinidas de una clase muy ampliade funciones. En cada uno de los métodos de integración, se presentan ejemplos típicos que van desde los casos más simples, pero ilustrativos, que nos permiten llegar de manera gradual hasta los que tienen un mayor grado de dificultad.
estudiaremos los principales métodos de integración, consistiendo todos ellos en reducir la integral buscada a una integral ya conocida, como por ejemplo una delas de la tabla, ó bien reducirla a una integral más sencilla.
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El Método de Cambio de Variable.
Antes de ver la fórmula de cambio de variable, resolveremos algunos ejercicios sencillos que nos llevarán de manera natural a la mencionada fórmula. Tomemos la primera fórmula de la tabla de integrales del capítulo anterior:
? ?x
4
x? dx =
x ? +1 +k ? +1
si ? ? ?1a partir de ésta podemos encontrar integrales como
x +k , 5
5
dx =
?
x dx =
1 +1 x2
1 +1 2
+k =
3 x2
3 2
+k =
2 3 x +k 3
, etc.
Sin embargo, si la variable no aparece de manera sencilla en la función a integrar, ¿podemos afirmar que
?
(3 x ? 5) 5 (3 x ? 5) dx = +k? 5
4
La respuesta es NO, pues al derivar el lado derecho no obtenemos el integrandod ? (3 x ? 5) 5 ? 4 ? ? = 3(3 x ? 5) dx ? 5 ? lo correcto sería
?
o bien
3(3 x ? 5) 4 dx =
(3 x ? 5) 5 +k 5
?
(3 x ? 5) 4 dx =
1 ? (3 x ? 5) 5 ? ? ?+k 3? 5 ? (cos x) 5 +k? 5
Análogamente ¿podemos afirmar que
?
(cos x) 4 dx =
De nuevo la respuesta es NO, pues al derivar el lado derecho no obtenemos el integrando
d ? (cos x) 5 ? 4 ? ? = ? senx(cos x) dx ? 5 ?
locorrecto sería
? ?
3(3 x ? 5) 4 dx =
senx(cos x) 4 dx = ?
(cos x) 5 +k 5
En el cálculo de estas dos integrales
(3 x ? 5) 5 +k 5
?
x ? +1 +k ? +1
senx(cos x) 4 dx = ?
(cos x) 5 +k 5
como una variante de la fórmula
?
x? dx =
si ? ? ?1
advertimos que si la variable x se reemplaza por una función u(x), para que la integral se calcule sustituyendo u(x) por x, enel integrando debe aparecer u'(x) multiplicando a u(x)?, es decir
[u( x)]? u’ ( x)dx = [u ( x)] ?
? +1
? +1
+k
si ? ? ?1
En general, si partimos de una integral conocida
? f ( x) dx = g ( x) + k
y cambiamos la variable x por la función derivable u(x), tal que u'(x) es continua, obtenemos LA FORMULA DE CAMBIO DE VARIABLE
? f [u( x)] u’ ( x)dx = g[u( x)] + k
Podemoscomprobar fácilmente su validez, derivando el lado derecho
d [g[u ( x)] + k ] = g ‘ [u ( x)]u ‘ ( x) = f [u( x)]u’ ( x) dx
este último paso utilizando el hecho de que g es una primitiva para f. Si en la fórmula anterior escribimos u = u(x) y u'(x)dx = du, la fórmula de cambio de variable nos quedaría como:
? f (u)du = g (u) + k
En todos los ejemplos que veremos a continuación, trataremos dereducir el grado de dificultad de la integral mediante un cambio de variable, de tal manera que la integral resultante sea más fácil de integrar ó que sea una integral conocida. Para que la fórmula de cambio de variable tenga posibilidades de éxito, debemos identificar en el integrando a una función u y a u’, su derivada. Ejemplo 1. Encuentre
?
(3 x ? 5) 4 dx
Solución. En este caso sencillopodemos observar que esta integral «se parece» a lo cual nos sugiere tomar el cambio de variable u = 3x-5 u = 3x-5 ? du = 3 dx ? dx = (1/3)du
? u du ,
4
Sustituyendo en la integral,
?
(3 x ? 5) 4 dx = u 4 du / 3 =
?
1 1 u5 (3 x ? 5) 5 u5 u 4 du = ( ) + c = +c = +c 3 3 5 15 15
?
coincidiendo con el resultado anterior. Ejemplo 2. Encuentre
? cos
4
x senx dx…