Likmites

Cálculo I. Límites y continuidad. Teorema 1. lim f ? x ? ? L si y sólo si lim f ? x ? ? L y lim f ? x ? ? L . ? ?
x ?c

Teorema 2. Si lim f ? x ? ? L y lim g ? x ? ? M , entonces:
x ?c x ?c

x?c

x ?c

i)

lim ? f ? x ? ? g ? x ?? ? L ? M ? x ?c ?

ii) lim ?? f ? x ?? ? ? L ? x ?c ? iii) lim ? f ? x ? g ? x ?? ? LM ? x ?c ? Teorema 3. Si lim f ? x ? ? L y lim g ? x ? ? 0 con M ? 0 ,entonces: lim
x ?c
x ?c
x ?c

g ? x?

f ? x? f ? x?

?

L . M

Teorema 4. Si lim f ? x ? ? L con L ? 0 y lim g ? x ? ? 0 , entonces: lim
x ?c
x ?c

x ?c

g ? x?

no existe.Definición. Sea f una función definida al menos en un intervalo abierto de la forma (c-p,c+p) con p>0. Diremos que f es continua en c si y sólo si lim f ? x ? ? f (c) .
x ?c

Teorema 5. Si g escontinua en c y f es continua en g(c), la función compuesta f ?g es continua en c. Ejercicios. Calcule los límites que existan, indicando los teoremas que usó para calcularlos. 1.- Límites laterales x a)lim x? 0 x c) lim f ? x ?
x ?1

b) lim
x? 0

x x ? x
2

? 1 ? x si x ? 1 ? donde f ? x ? ? ? 1 si x ? 1 ? ? x ? 1 si x ? 1

? x ? 1 si ? d) lim f ? x ? donde f ? x ? ? ? x? 0 ? x ? 1 si ?x?0 x?0

e) lim? csc x
x? 0

f) lim?
x? 0

x x?
x ?1
? ? ? ?
1 x

g) lim?
x? 0

x x ? x
2

h) lim ?
x ?1

i) lim ?
x ?1

x ?1 x ?1
2

1? x ? x j) lim? cos ? ? x? x x? 0 ?2.- Límites trigonométricos 6x a) lim x ? 0 sen x sen 5 x c) lim x ? 0 sen 3 x e) lim 2 x cot 6 x
x? 0

b) lim
x? 0

d) f) h) j)

x2 x ? 0 1 ? cos 2 x sen ? x ? h ? ? sen x i) lim h? 0 h
g)lim

cos x ? 1 3x cos 2 x ? 1 lim x ? 0 1 ? cos x sec2 x ? 1 lim x? 0 x2 2 ? 2cos x lim x? 0 x2 h lim h ? 0 cos x ? cos ? x ? h ?

Cálculo I. Límites y continuidad. 3.- Sumas y productos delímites. ? x2 ? x 1 ? x ? a) lim ? 2 ? 2 ? x ?1 ? x ?1 x ?1 ?

? x3 ? 2 x 2 ? x ? 2 2 ? c) lim ? 2 ? ? 4 ? 2 x?0 x ?1 x ? x2 ? ? x
e) lim 1 ? 1 x? 2 x 2

? x3 ? 3x 2 3x ? 1 ? b) lim ? 2 ? 2 ? x…