Cap. 2 La derivada
Moisés Villena Muñoz
2
2.1 INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA
2.2
2.1.1 DEFINICIÓN
2.1.2 NOTACIÓN
2.1.3 FORMA ALTERNATIVA
DERIVACIÓN
2.2.1 FÓRMULAS DE DERIVACIÓN.
2.2.2 REGLAS DE DERIVACIÓN
2.2.3 REGLA DE LA CADENA
2.2.4 DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR
2.2.5 DERIVACIÓN IMPLÍCITA(OPCIONAL)
2.2.6 DERIVADAS DE FUNCIONES INVERSAS (OPCIONAL)
2.3
2.4
LA DERIVADA COMO RAZÓN DE CAMBIOAPLICACIONES DE LA DERIVADA
2.4.1 MONOTONIA
2.4.2 MÁXIMOS Y MINIMOS
2.4.3 CONCAVIDAD
OBJETIVOS:
Se pretende que el estudiante:
• Defina derivada.
• Calcule ecuaciones de rectas tangentes a una curva
• Calcule derivadas.
• Interprete la derivada como la razón de cambio de una
variable con respecto a otra variable.
• Determine intervalos de Crecimiento y de
Decrecimiento.
• Determine máximos y mínimos.
•Determine intervalos de concavidad.
• Elabora gráficas elementales.
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Cap. 2 La derivada
Moisés Villena Muñoz
Desde la antigüedad (épocas de los griegos) existía el problema de la
determinación de la ecuación de la recta tangente en un punto de una
curva; recién en el siglo XVII fue resuelto con los estudios de ISAAC
NEWTON (1642-1727) y GOTTGRIED WILHELM LEIBNIZ (1646-1716),
preocupadostambién por describir la velocidad instantánea que lleva un
móvil cuando se desplaza siguiendo una trayectoria.
Empecemos primero estudiando
posteriormente el problema mecánico.
el
problema
geométrico
y
2.1 INTERPRETACION GEOMETRICA
Suponga que se tenga el problema de encontrar la ecuación de la
recta tangente a la grafica de una función f , en un punto x0 .
y
y = f ( x)
y0
x0
x
La ecuaciónde la recta tangente estaría dada por:
y ? f ( x0 ) = m tg ( x ? x 0 )
Ahora, habría que calcular la pendiente de la recta tangente.
Observe el gráfico:
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Cap. 2 La derivada
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y = f ( x)
y
{
f ( x0 + h )
f ( x0 )
f ( x0 + h ) ? f ( x0 )
{
h
x0
x0 + h
x
La pendiente de la recta secante entre los puntos
( x 0 + h, f ( x 0 + h ) )
sería msec =
(x0 , f ( x0 ) )y
f ( x 0 + h) ? f ( x 0 )
h
La pendiente de la recta tangente se obtendría haciendo que h se
haga cada vez más pequeña, porque en este caso la recta secante toma la
posición de la recta tangente, y resolveríamos nuestro problema; es decir:
m tg = lím
h ?0
f ( x 0 + h) ? f ( x 0 )
h
A la pendiente de la recta tangente se le llama la derivada de f .
2.1.1 DEFINICIÓN
La derivada de f en » x0“, denotada como f ´( x0 ) ,
está dada por:
f ( x0 + h) ? f ( x0 )
f ´( x0 ) = lím
h ?0
h
Siempre que este límite exista.
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2.1.2 NOTACIÓN.
Existen otras notaciones para la derivada:
dy
.
dx
y´ ,
En cualquier caso, la derivada en » x » sería:
f ( x + h) ? f ( x)
h
f ´( x ) = lím
h ?0
2.1.3 FORMA ALTERNATIVA
Presentaremos ahora una forma diferentepara la derivada, que para
algunos casos resultaría muy útil.
Observe el gráfico:
y
y = f ( x)
f ( x0 )
{
f ( x)
f ( x ) ? f ( x0 )
{
x ? x0
x0
x
x
La pendiente de la recta secante entre los puntos ( x 0 , f ( x 0 ) ) y ( x, f ( x) )
f ( x) ? f ( x 0 )
sería: msec =
. Entonces la pendiente de la recta tangente, que es
x ? x0
la derivada de f , sería en este caso:
mtg = f ´( x0 ) = lím
x ?x0
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f ( x) ? f ( x0 )
x ? x0
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Ejemplo 1
Empleando la definición, hallar la derivada f ( x ) = 2 x + 1
SOLUCIÓN:
f ´( x) = lím
h ?0
= lím
f ( x + h) ? f ( x )
h
?? 2 ( x + h ) + 1?? ? [ 2 x + 1]
h
2 x + 2h + 1 ? 2 x ? 1
= lím
h?0
h
2h
= lím
h?0 h
= lím 2
h?0
h?0
f ´( x) = 2
Empleando la forma alternativa:
f ( x) ? f ( x0 )
x ? x0
f ´( x0 ) =lím
x ? x0
= lím
( 2 x + 1) ? ( 2 x0 + 1)
x ? x0
x ? x0
= lím
2 x + 1 ? 2 x0 ? 1
x ? x0
= lím
2 x ? 2 x0
x ? x0
x ? x0
x ? x0
= lím
x ? x0
2 ( x ? x0 )
( x ? x0 )
= lím 2
x ? x0
f ´( x0 ) = 2
Ejemplo. 2
Empleando la definición, hallar la derivada f ( x ) = x 2
SOLUCIÓN:
f ´(x) = lím
h ?0
= lím
f ( x + h) ? f ( x )
h
(x + h )2 ? x 2
h
h ?0
2
x + 2 xh + h 2 ? x 2
h ?0
h
h(2…